証明

(1 ⇒ 2) A := { y⊂x | (y, R)は全順序 } と定め，⊂でAに順序を入れる．この(A, ⊂)はZornの補題の仮定を満たす．

よってZornの補題より極大元が存在するが，これが明らかに求めていたものである．

(2 ⇒ 3) ⊂は推移的だから，仮定2. より⊂によって全順序付けされる極大部分集合が存在するが，これは明らかに(x, ⊂)の極大鎖である．

(3 ⇒ 4) 仮定3. より極大鎖y⊂xが存在する．この鎖yに4. の仮定を適用すると∀a∈y(a⊂b)となる元b∈xが取れる．このbがxの極大元である．

(4 ⇒ 5) xが有限性を持つとする．順序集合(x, ⊂)が4. の仮定を満たすことを示せばよい．

y⊂xを鎖とする． b:=∪_{a∈y}aと置けば，b∈xである．

c⊂bを任意の有限部分集合とする．bの定義とcが有限集合であることから c⊂a_1∪a_2∪…∪a_n となるa_i∈yが存在する．(y, ⊂)が全順序であるから a := max{ a_1, a_2, …, a_n } が存在してc⊂aとなることが分かる．a∈y⊂x，即ちa∈xだからxが有限性を持つ事よりc∈x．従って再びxが有限性を持つ事からb∈xである．

このb∈xは明らかに4. の仮定∀a∈y(a⊂b)を満たす．

(5 ⇒ 6) A := { y⊂x | yは鎖 } は空ではない．明らかにAは有限性を持つので，Tukeyの補題より極大元を持つ．

(6 ⇒ 7) 明らか．

(7 ⇒ 8) c⊂xを鎖とする．集合 y:={ a∈x | aはcの全ての元と比較可能 } を考える．明らかにc⊂y．(y, ≦)は順序集合だから，仮定7. より極大鎖m⊂yを持つ．c⊂mである．

a∈c＼ mが存在すると仮定する．mの極大性よりm∪{a}⊂yは鎖ではない．故にa∈cと比較不可能な元b∈m⊂yが存在するが，それはyの定義に矛盾する．

故にmは鎖cを含むxの鎖である．鎖d⊂xがmを含むとする．するとc⊂m⊂dだからdの任意の元はcの元と比較可能，よってd⊂yである．即ちdはyの鎖でもある．故にmの極大性よりd=m．即ちmはxの極大鎖である．

(8 ⇒ 9) 明らか．(例えば∅⊂Tが鎖だから)

(9 ⇒ 1) Zornの補題と同値な整列可能定理を示す．Xを任意の集合としT := { f:α→A | αは順序数でfは単射 } と置く．(T, ⊂)は木である．よって極大鎖Cを持つ．すると g := ∪_{f∈C}f はある順序数からAへの単射である．Cの極大性からgは全射．故にXは整列可能である．

(5 ⇒ 10) A := { y⊂x | yは反鎖 } は空でない．明らかにAは有限性を持つので，Tukeyの補題より極大元を持つ．

(10 ⇒ 11) 明らか．

(11 ⇒ 1) Zornの補題と同値な整列可能定理を示す．その為に，整列可能定理と同値な「全順序集合は整列可能」を示す．

整列可能定理についての定理1を参照

(X, ≦)を全順序集合とする．A := { (Y, y) | Y⊂X, y∈Y }と置き，Aの順序を
(Y, y)≦(Z, z) ⇔ Y=Zかつy≦z
で定める．(y≦zはXの順序である．) 仮定11. より極大反鎖C⊂Aが存在する．Xは全順序だから，明らかに C = { (Y, f(Y)) | Y∈P(X)＼{∅} }と書ける．このfはP(X)＼{∅}の選択関数である．よって選択公理から整列可能定理を導くのと同様にしてXが整列可能なことが分かる．

整列可能定理とZornの補題を参照

証明

(5 ⇒ 4)と(4 ⇒ 2)と(5 ⇒ 3)と(3 ⇒ 2)は明らか．

(2 ⇒ 1) Zornの補題と同値なTukeyの補題(定理1の5)を示せばよい．その為にはxが有限性を持つとき「順序集合(x, ⊂)の鎖には上限が存在する」を満たすことを示せばよい．

y⊂xを鎖とする．a := ∪_{b∈y}b と置く．定理1の 4 ⇒ 5 の証明と同様に，a∈xが分かる．

明らかにaはyの上界である．cをyの上界とする．即ち任意のb∈yに対しb⊂c．s∈aとする．aの定義よりあるb∈yが存在してs∈b．故にs∈b⊂c．即ちa⊂cである．従ってaはyの最小上界，即ち上限である．

(1 ⇒ 5) Zornの補題と同値な定理1の2.「集合x上の推移的関係Rに対し，Rによって全順序付けされる極大部分集合が存在する」 を仮定して5. を示す．

W := { y⊂x | (y, R)は整列順序集合 } と置く．W上の関係Sを
ySz ⇔ y⊂zかつz∩R^{-1}(y)⊂y
と定める．Sは推移的である．

ySz かつ zSw であるとする．即ち y⊂z⊂w, z∩R^{-1}(y)⊂y, w∩R^{-1}(z)⊂z．よって
y⊃ z∩R^{-1}(y) ⊃ (w∩R^{-1}(z))∩R^{-1}(y) = w∩R^{-1}(y)
故にySw．

仮定(定理1の2)よりSによって全順序付けされる極大部分集合N⊂Wが存在する．u := ∪_{y∈N}y とする．(u, R)は順序集合である．

任意のv(≠∅)⊂uを取る．するとあるy∈Nについてv∩y≠∅である．y∈N⊂Wだから，(y, R)は整列順序．よって a := min(v∩y) が存在する．このaはvの最小元でもある．

よって，uの空でない任意の部分集合は最小元を持つ事，即ち(u, R)は整列順序集合である事が分かる．故にu∈W．このuは(W, S)の極大元である．

z∈WがuSzを満たすとする．uの定義から，任意のy∈Nに対しySu，よってySz．即ちN∪{z}は(W, S)の全順序部分集合である．Nの極大性からN=N∪{z}，従ってz∈N，よってzSuとなる．即ちuは極大元．

(u, R)⊂xは整列順序だったから，5. の仮定よりuの上界s∈xが存在する．

a∈xがsRaを満たすとする．勿論aはuの上界である．aRbとなるb∈uが存在する．

「全てのb∈uに対し￢aRb」と仮定する．u∪{a}はRについて整列順序．よってu∈Wの極大性からu=u∪{a}．従ってa∈u，よって￢aRaである．一方sがuの上界であることからa=sまたはaRsであり，ゆえにsRaからaRaが分かる．よって矛盾．

よってsRb．するとsがuの上界であることからb=sまたはbRsであるが，どちらにしてもaRsである．従ってsが(x, R)の極大元であることが分かった．

証明

(⇒) Xを順序集合とする．(*)を満たすA⊂Xが上界を持つとする．C⊂Xを任意の鎖とすると鎖は(*)を満たすから，Cは上界を持つ．従ってZornの補題よりXは極大元を持つ．

(←) を非空集合の族とする．X := { f: Γ→∪_{λ∈Λ}X_λ | Γ⊂Λ, f(λ)∈X_λ }と定める．Xに⊂で順序を入れる．

A⊂Xが(*)を満たすとする．g := ∪_{f∈A}f と置く．λ∈dom(g)を取る．dom(f_1), dom(f_2)∋λとなる任意の f_1, f_2∈A を取る．条件(*)より，{ f_1, f_2 } はAに上界 h を持つ．このとき h(λ) = f_1(λ) = f_2(λ) である．即ち g(λ) は一意に定まる．故に g∈X ．明らかに g はAの上界である．

よって仮定よりXは極大元を持つが，それが選択関数である．

証明

(Zornの補題)⇒M(1) A := { y⊂x | y×y⊂R } と置けばAは有限性を持つ． ゆえにZornの補題と同値なTukeyの補題(定理1の条件5)より極大元の存在が分かる．

M(1)⇒M(2) はM(1)でRとして R∪R^{-1} を取ればよい． M(2)⇔M(3) と M(3)⇒M(4) と M(4)⇔M(5) も同様に明らか．

M(4)⇒(Zornの補題) 定理1の条件7を示せばよいが，それはM(4)の特別な場合である．

証明

(⇒) A := { y⊂x | y^n⊂R } が有限性を持つ事から明らか．

(←) n=2とすれば M(1) の成立が分かる．

証明

(選択公理)⇒N(J) Tukeyの補題より明らか．

N(J)⇒N(D^c) 任意の集合Xをとる．uを「任意のs, t∈Xに対し<s, u> ∉ t」を満たすように取り，s∈Xに対し s(u) := s∪{ <s, u> } と置く．仮定 N(J) を{ s(u) | s∈X } に適用すると，property J を持つ極大部分集合 S⊂{ s(u) | s∈X } の存在が分かる．Y := { s∈X | s(u)∈S } と定める．s, t∈X, s≠tとする．定義から s(u) K^c t(u) である． 故に s(u) J t(u)⇔ s(u) D^c t(u) が成り立つ．一方，s(u)∩t(u)=s∩t だからs(u) D^c t(u) ⇔ s D^c t となる． 即ち s(u) J t(u) ⇔ s D^c t，従ってY⊂Xはproperty D^c を持ち極大である．

N(D^c)⇒N(D) 任意の集合Xをとる．s∈Xに対し N_s := { {s} }∪{ {s, t} | t∈x, sDt }と置く．s, t∈X, s≠tとする．N_sD^cN_t ⇔ sDt である．よって仮定 N(D^c) を{ N_s | s∈X }に適用すれば，N(D) の成立が分かる．

N(D)⇒(選択公理) を空でない集合の族とする．X_λは互いに交わらないとしてよい．X := { {<0, v>, <1, λ>} |λ∈Λ, v∈X_λ } とする．仮定 M(D) をXに適用して，property Dを持つ極大部分集合Y⊂Xを得る．{<0, v>, <1, λ>} D {<0, w>, <1, μ>} ⇔ λ≠μだから，各λ∈Λに対し{<0, v_λ>, <1, λ>}∈Yとなるようなv_λ∈X_λが唯一つ存在する．よって f(λ) := v_λ が選択関数である．

(選択公理)⇒N(J^c) Tukeyの補題より明らか．

N(J^c)⇒N(K) 任意の集合Xをとる．∪_{s∈X}sに含まれない元uを取り，s∈Xに対し s' := s∪{u} と置く．すると任意のs, t∈Xに対し s' D^c s' となるから，s' J^c t' ⇔ s'Kt' ⇔ sKt が分かる．故に仮定 N(J^c) を{ s' | s∈X } に適用すれば，N(K) の成立が分かる．

N(K)⇒(選択公理) 明らかに N(K) ⇔ (定理1の条件3)である．