定理次の命題は同値

1. 選択公理
2. 任意の集合Xは整列順序付け可能　(整列可能定理)
3. 空でない順序集合Xが「任意の部分全順序集合には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する　(Zornの補題)

証明(1⇒2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．Xが有限集合ならば簡単であるから，Xは無限集合であると仮定する．アレフで，￢≦|X|となるものが存在するので，その様なアレフのうち最小の物をとる． 仮定をA := P(X)＼{∅}に適用して，選択関数 f: A→X を得る．Xに含まれない元∞を用意し，写像g:→X∪{∞}を

で定義する．￢≦|X|であるから，g(γ)=∞となるγ∈は存在する．そこで，その様なγのうち最小のものをとる．するとgをγ上に制限してできる写像γ→Xは全単射である．よってこれによりXを整列する事ができる．

(2⇒3)
仮定により，ある順序数ηを使って X = { e_ν | ν<η } とXを整列する事ができる．Xの元からなる列{a_ν}_νを次の様に定義する．

(i)ν=0のとき．a₀ := e_0．

(ii)ν=α+1と書けて，a_αがXの極大元のとき． a_ν := a_α．ここで帰納法を終了する．

(iii)それ以外のとき．{ a_β | β<ν } はXの全順序部分集合である． よってZornの補題の仮定から，その上界e_γ∈Xが存在する． そのようなe_γのうち，添え字γが最小となるものをa_νと定義する．

この定義はある順序数ξで止まる．このときそのa_ξがXの極大元である．

(3⇒1)
を非空集合の族とする．

A:={(Γ, g)|Γ⊂Λ, g:γ→∪_{λ∈Γ}X_λ, g(λ)∈X_λ}

を考える．A上の順序関係≦を

で定める．B⊂Aを部分全順序集合とするとき

Γ':=∪_{(Γ, g)∈B}Γ, 　g':=∪_{(Γ, g)∈B}g

と定義すると(Γ', g')∈AはBの上界である．即ちAはZornの補題の仮定を満たす．故に極大元(Γ, f)を持つ．もしΓ≠Λであれば(Γ, f)が極大であることに反するのでΓ=Λ．この時 f: Λ→ は選択関数である．

おまけ

(2⇒1)
を非空集合の族とする．整列可能定理によりを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば fが選択関数である．