定理1 非空集合の族に対して≠ ∅
⇔ 非空集合の族で全てのX_λの濃度が等しいもの，に対して≠ ∅

証明⇒ は明らかなので，逆を示せばよい． を非空集合の任意の族とする．Y := ()^Nと置く．(ω= {0, 1, 2, …} ) 明らかに Y≠∅ である．λ∈Λに対し F_λ: Y×X_λ→Y を

F_λ(f, x)(0) := x
F_λ(f, x)(n+1) := f(n)

で定義する．Fは単射だから |Y×X_λ|≦|Y|．|Y|≦|Y×X_λ| だからBernsteinの定理より |Y×X_λ| = |Y|．従って仮定から Π_λ∈Λ(Y×X_λ) ≠ ∅．故に ≠ ∅である．

定理2選択公理
⇔ 集合の順序対からなる族 { <X_λ, Y_λ> }_λ∈Λが，各λ∈Λに対し |X_λ| = |Y_λ| を満たしているとする．このとき写像の族 {f_λ}_λ∈Λ で，「各λ∈Λに対し f_λ: X_λ→Y_λ は全単射」を満たすものが存在する．

証明 ⇒ は明らかなので，逆を示せばよい．を非空集合の任意の族とする．| X_λ×ω | = | X_λ×ω∪{ ∅ } | であるから，族 { <X_λ×ω∪{ ∅ }, X_λ×ω> }_λ∈Λに仮定を適用して全単射 f_λ: X_λ×ω∪{ ∅ }→X_λ×ω からなる族を得る．g(λ) := ( f_λ( ∅ )の第一成分 ) と置けば，gが選択関数である．

定理3選択公理
⇔ 非空集合の族は全てのX_λの濃度が等しいとする．このとき写像の族{ f_{λ, μ} }_{λ, μ∈Λ}で，「各λ, μ∈Λに対し f_{λ, μ}: X_λ→X_μ は全単射」を満たすものが存在する．

証明 ⇒ は明らかなので，逆を示せばよい．を非空集合の任意の族とする．Y:=()^ωと置く．明らかにY≠∅ である．定理1の証明と同様にして | X_λ×Y | = |Y| が分かる．また，| X_λ×Y | = | X_λ×Y∪{ ∅ } | も容易に分かる．

I := {0}×Λ, J := {1}×Λ, K := I∪K と置き <0, λ>∈I に対し Y_{<0, λ>} := X_λ×Y∪{ ∅ }, <1, λ>∈J に対しY_{<1, λ>} := X_λ×Y と定める．族{ Y_i } _i∈K に仮定を適用して全単射の族 { f_{i, j} }_{i, j∈K} を得る．このとき各λ∈Λに対し

F_λ := f_{<0, λ>, <1, λ>}: X_λ×Y∪{ ∅ }→X_λ×Y

は全単射である．そこでg(λ) := ( F_λ( ∅ )の第一成分 ) と置けば，gが選択関数である．

定理4 以下の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. 任意の X≠∅ と写像 F: X→Y に対して写像 G: Y→X が存在して FGF = F となる．
3. 任意の全射 F: X→Y に対して，ある G: Y→X が存在して FG = id_Y．
4. 二項関係 R⊂X×Xが「任意のx∈Xに対してあるy∈Xが存在してxRy」を満たすとき，写像 f: X→X で「任意のx∈Xに対してxRf(x)」を満たすものが存在する．

証明 (1 ⇒ 2) X≠ ∅ , F: X→Y とする．Z := Im(F) と置く．各 y∈Z について F^-1(y) ≠ ∅ である．よって { F^-1(y) }_y∈Z に選択公理を適用して選択関数 f: Z→∪_y∈ZF^-1(y)=X を得る．y∈Z に対し f(y)∈F^-1(y)，即ち F(f(y))=y である．また X≠ ∅ だから，X から1つ元 a∈X が取れる．写像 G: Y→ X を

y∈Z のとき G(y) := f(y)
y ∉ Z のとき G(y) := a

と定義すれば，任意の元x∈Xに対し

FGF(x) = F(G(F(x))) = F(f(F(x))) = F(x)

(2 ⇒ 3) F: X→Y を全射とする．X = ∅ のときは自明なので X≠ ∅ とする．すると仮定4 よりある写像 G: Y→X があって FGF = F = (id_Y)F．よって F の全射性から FG = id_Y である．

(3⇒4) 条件を満たす関係 R⊂X×X を取る．X = ∅ のときは自明だから， X≠ ∅ とする．写像 π₁, π₂: R→X を π_i(x₁, x₂)=x_i (i=1, 2) で定める． R の条件から π₁ は全射である．よって仮定3から，π₁g = id_X となる写像 g: X→R が存在する．このとき写像 f:=π₂g: X→X を取れば任意の x∈X に対して xRf(x) である．

(4 ⇒ 1}) を非空集合の族とする．X := Λ∪と置く．Λ∩=∅ としてよい．X上の二項関係Rを

aRb ⇔ a∈Λ, b∈X_a または a=b∈

で定める．このRに仮定4 を適用し，写像f: X→X を得る．g を f をΛに制限した写像を g とすれば，明らかに g: Λ→X は選択関数である．

定理6 次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. A を集合，B⊂A を部分集合，f: A→B を全射とするとき， 任意の写像 g: A→B に対してある写像 h: A→A が存在して g = fh となる．
3. A を集合，B⊂A を部分集合，f: A→B を全射とするとき， 任意の全射 g: A→B に対してある写像 h: A→A が存在して g = fh となる．
4. A を集合，B⊂A を部分集合，f: A→B を全射とする． 写像 g: A→B が g|_B = id_B を満たすとき，ある写像 h: A→A が存在して g = fh となる．

証明 (1 ⇒ 2) 定理4の3を f に適用して，fk = id_B となる写像 k: B→A を得る．そこで h := kg と置けば fh = fkg =id_Bg = g である．

2⇒3 と 3⇒4 は明らか．

(4 ⇒ 1) を互いに素な非空集合の族とする．とする．X∩Λ= ∅ としてよい．XにもΛにも含まれない元 ∞ ∉ X∪Λ を一つ取る．A := X∪Λ∪{∞}, B := Λ∪{∞} として全射 f: A→Bを

a∈X_λ のとき　f(a) := λ
a∈Λ のとき　f(a) := ∞
a=∞ のとき　f(a) := ∞

と定める．写像 g: A→B を

a∈X_λ のとき　g(a) := ∞
a∈Λ のとき　g(a) := a
a=∞ のとき　g(a) := ∞

とする．仮定により，ある写像 h: A→A が存在して g = fh となる．このときλ∈Λに対して λ = g(λ) = f(h(λ)) だから，f の定義により h(λ)∈X_λ である．故に h|_Λ はの選択関数である．