【選択公理】任意の集合に選択関数が存在する． [⇔]「任意個の非空集合」の直積は空でない． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔]「濃度が互いに等しい，任意個の非空集合」の直積は空でない． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 全射f:A→Bに対し，fg=id_Bとなるような写像g:B→Aが存在する． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 空でない集合Aと写像 f:A→B に対して写像 g:B→A が存在して fgf=f となる． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 任意の二項関係Rに対し，ある関数fが存在してdom(R)=dom(f)かつf⊂R．[ 即ち，∀x∈dom(f)に対しxRf(x) ] [⇔] 任意の集合は射影的． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 任意の集合は射影的な集合に含まれる． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] ∀x∈X∃y∈X xRy を満たす二項関係R⊂X×Xに対し，写像 f: X→X で ∀x∈X xRf(x) を満たすものが存在する． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 集合族{X_λ}に対し，互いに素な集合の族{Y_λ}で「Y_λ⊂X_λ，∪Y_λ = ∪X_λ」を満たすものが存在する． http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔]【Zornの補題】順序集合Xが「Xの部分全順序集合には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する． http://alg-d.com/math/ac/wot_zl.html [⇔] 順序集合Xが「Xの部分全順序集合には上限が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 順序集合Xが「Xの部分整列順序集合には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 集合X上の推移的関係Rが「Xの部分集合でRによって全順序付けされるものには上界が存在する」を満たすならば，xの極大元が存在する． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 集合X上の推移的関係Rが「Xの部分集合でRによって整列順序付けされるものには上界が存在する」を満たすならば，xの極大元が存在する． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 集合X上の推移的関係Rに対し，Rによって全順序付けされる極大部分集合が存在する． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔]【Tukeyの補題】有限性をもつ集合は(⊂について)の極大元をもつ．[ 集合Xが有限性を持つとは「a∈X ⇔ aの任意の有限部分集合bに対しb∈X」] http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 任意の集合Xに対し「任意の元x, y∈Yに対しx∈yまたはx=yまたはy∈x」となるような極大部分集合Y⊂Xをが存在する． [⇔] 任意の前順序集合は極大全順序部分集合を持つ． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔]【Hausdorff's Maximal chain Condition】任意の順序集合は極大全順序部分集合を持つ． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 任意の前順序集合は極大反鎖を持つ．[ 前順序集合(X,≦)の反鎖とは，A⊂Xで「∀x∀y∈A(¬x≦yかつ¬y≦x)」を満たすもの ] http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔]【Kurepa's Maximal Antichain Condition】任意の順序集合は極大反鎖を持つ． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 任意の木は極大全順序集合を持つ．[ 木とは順序集合(T, ≦)で「∀t∈Tに対し{x∈T|x≦t}は≦によって全順序集合になる」を満たすもの ] http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔] 任意の集合X上の二項関係Rに対し，Y×Y⊂Rとなるような極大部分集合Y⊂Xが存在する． http://alg-d.com/math/ac/zl.html [⇔]【整列可能定理】任意の集合は整列可能．[ Xが整列可能とは，ある順序関係≦で「Xの任意の部分集合が(≦についての)最小元を持つ」を満たすものが存在すること ] http://alg-d.com/nath/ac/wot_zl.html [⇔] 任意の全順序集合は整列可能． http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の順序数αに対し，冪集合 Power(α) は整列可能． http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 選択関数を持つ集合は整列可能． http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対し WO(X, m)．[ m≧2は整数．WO(X, λ):=「ある順序数α上で定義された関数fが存在して∀β<α(|f(β)|<λ) かつ X=∪_{β<α}f(β)」] http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] ある整数m≧2が存在して，任意の集合Xに対し WO(X, m)． http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対しある整数m≧2が存在して WO(X, m)． http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対し WO(X, ∞)． http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 空集合を含まない集合Xに対し AC(X, m)．[ m≧2は整数．AC(X, λ):=「X上で定義された関数fが存在して f(x)⊂xかつ0<|f(x)|<λ」] http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔] ある整数m≧2が存在して，空集合を含まない集合Xに対し AC(X, m)． http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔] 空集合を含まない集合Xに対しある整数m≧2が存在して AC(X, m)． http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔]【the Axiom of Multiple Choice】空集合を含まない集合Xに対し AC(X, ∞)． http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔] 【濃度の比較可能性】任意の集合A, Bに対し，単射A→B または 単射B→A が存在する． http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の集合A, Bに対し，全射A→B または 全射B→A が存在する． http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限基数λ, μに対しλ・μ=λ+μ． http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限基数λに対しλ=λ^2． http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限基数λ, μに対しλ+μ=λまたはλ+μ=μ． http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限基数λ, μに対しλ・μ=λまたはλ・μ=μ． http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限集合Xに対し |X|=|Xの有限部分集合全体| http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] |A|<|A∪B|かつ|B|<|A∪B| ならば A∪Bは有限集合 http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] Xが有限集合 ⇔ (X, ≦)が整列順序ならば(X, ≧)も整列順序 http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 全射 f: X→Y と全射 g: Y→X が存在すれば，全単射 h: X→Y で h⊂f∪g^-1 を満たすものが存在する． http://alg-d.com/math/ac/bernstein.html [⇔]【Tychonoffの定理】コンパクト空間の直積はコンパクト． [⇔]「コンパクトなT_1空間」の直積はコンパクト． [⇔]「開集合が有限個な空間」の直積はコンパクト． [⇔]「互いに同相なコンパクト空間」の直積はコンパクト． [⇔]「互いに同相な，開集合が丁度3個しかない空間」の直積はコンパクト． [⇔] 正規空間の和は正規 [⇔] 任意の非空集合に群構造を定義する事ができる． http://alg-d.com/math/ac/gp.html [⇔] 任意の線型空間に基底が存在する． http://alg-d.com/math/ac/lin.html [⇔] 有理数体上の線型空間の生成系は基底を含む． http://alg-d.com/math/ac/lin.html [⇔] 任意の線型空間Vとその部分空間Aに対し，Aの補空間Bが存在する． http://alg-d.com/math/ac/lin.html [⇔] 任意の線型空間は入射的． http://alg-d.com/math/ac/lin.html [⇔] 任意の線型空間は射影的． http://alg-d.com/math/ac/lin.html [⇔] 基底を持つ線型空間は射影的． http://alg-d.com/math/ac/lin.html [⇔]【Krullの定理】1(≠0)を含む環は極大イデアルを持つ． http://alg-d.com/math/ac/ring.html [⇔] 一意分解整域は極大イデアルを持つ． http://alg-d.com/math/ac/ring.html [⇔] 任意の束は極大フィルターを持つ． [⇔] 任意の完備束は極大フィルターを持つ． [⇔] 任意の分配束は極大フィルターを持つ． [⇔]【Loewenheim-Skolemの定理】 [⇒] 無限集合は自身と同じ濃度を持つ真部分集合を含む． [⇒] 無限集合は可算無限部分集合を含む． [⇒]【双対Bernsteinの定理】全射 f: X→Y と全射 g: Y→X が存在すれば，全単射 h: X→Y が存在する． http://alg-d.com/math/ac/bernstein.html [⇒]【可算和定理】可算集合の可算個の和集合は可算． [⇒]【順序付け原理】任意の集合は全順序付けられる．[ Gonzalez, 1995 ] [⇒]【稠密順序付け原理】任意の無限集合は稠密に全順序付けられる．[ Pincus, 1997 ] [⇒]【Kinna-Wagner原理】任意の集合は「ある順序数の冪集合」の中へ1対1に埋め込む事ができる． [⇒]【Banach-Tarskiのパラドクス】(中身の詰まった)球体を有限個に分割し，上手く組み立てると，初めと同じ大きさの球体が2つになる． [⇒] 任意の体に対し，その代数閉包が一意に存在する． [⇒] 濃度が可算な体の代数閉包は一意的．[ 存在は選択公理無しで証明できる ] [⇒]【Artin-Schreierの定理】体Kが「任意の正整数nに対し(x_1)^2+…+(x_n)^2≠-1 (x_i∈K)」を満たすならば，Kの全順序<で「x