Nielsen-Schreierの定理 自由群の部分群は自由群である．

Nielsen-Schreierの定理はZFで証明できない．(Nielsen-Schreierの定理から「有限集合の族についての選択公理」が導かれることが知られている．また，Nielsen-Schreierの定理が選択公理を導くかどうかは未解決問題のようだ．) 一方，Nielsen-Schreierの定理に条件を付け加えると選択公理と同値になることが知られている．

定理次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. Gを集合Xで生成される自由群とする．任意の部分群H⊂Gは，あるNielsen集合A⊂Gで生成される自由群になる．
3. G$を集合Xで生成される自由群とする．任意の部分群H⊂Gは，あるレベルA⊂Gで生成される自由群になる．

定義や証明はPDFを参照