証明

(⇒)Vを任意な線型空間とする．X := { A⊂V | Aは一次独立 }とする．一次独立の定義から，Xは明らかに有限性を持つ．よってTukeyの補題によりXは極大元Bを持つ．

Tukeyの補題とは「有限性を持つ集合は(⊂についての)極大元を持つ」という選択公理と同値な命題のこと．Zornの補題についてを参照．

BがVを生成しないと仮定する．するとBの元の一次結合で表せないような元v∈ Vが存在するが，この時B⊊ B∪{ v}∈ Xとなり，Bの極大性に矛盾する．よってBはVを生成する，即ちVの基底である．

(←) 選択公理と同値な the Axiom of Multiple Choice を示す．

AMC (= the Axiom of Multiple Choice)とは次の命題のこと．
空でない集合の族に対し，空でない有限集合の族で∀λ∈Λ, を満たすものが存在する．
同値性の証明はthe Axiom of Multiple Choiceを参照．

を空でない集合の族とする．(λ≠μ)としてよい．kを体とし，を不定元の集合とみなして体 k(X) を考える．

単項式に対し，と置き，をλ次数と呼ぶことにする．各項のλ次数がmの多項式をm次のλ斉次多項式と呼ぶことにし，その次数もλ-degで表すことにする．f∈k(X)が
f = g/h (g, hはλ斉次多項式，λ-deg(g) = λ-deg(h)+d )
と表せるとき，fをd次のλ斉次式と呼ぶことにする．

K := { f∈k(X)|∀λ∈Λに対しfは0次のλ斉次式} はk(X)の部分体．よってk(X)はK上の線型空間とみなせる．V := <X> をXでK上生成されるk(X)の部分空間とする．仮定よりVはK上の基底をもつ．それをBと書く．

さて，λ∈Λとする．の任意の元xは

(B(x)⊂Bは有限集合，)
と一意に表される．他の元も同様にと書くと

となる．表現の一意性から

である．即ち，B(x)とはxによらずにλから定まる．そこでと書く． だからは-1次のλ斉次式である．よって，を既約分数で表す事にすると，分母には必ずの元が現れる．故に

と置けば各は空でない有限部分集合である．よって the Axiom of Multiple Choice が成立する．

証明

(⇒) X := { W⊂V: 部分空間 | A∩W=0 } にZornの補題を適用すればよい．

(←)AMCを示す．を空でない集合の族とする．各X_λは互いに交わらないとしてよい．とする．各λ∈Λに対し
A_λ:={Σ_{x∈X_λ}a(x)x∈k^(X_λ) | Σ_{x∈X_λ}a(x)=0 }
と定義する．A:=⊕_{λ∈Λ}A_λ⊂⊕_{λ∈Λ}k^(X_λ)=k^(X)に仮定を適用するとA⊕B=k^(X)となる部分空間B⊂k^(X)が存在する．

x∈X_λをx∈k^(X)とみなして x=a(x)+b(x) (a(x)∈A, b(x)∈B) と表す．任意のx, y∈X_λをとる．x-y∈Aに注意すると
b(x)-b(y) = (x-a(x))-(y-a(y)) = (x-y)-a(x)+a(y)∈A
となるからb(x)-b(y)∈A∩B=0，即ち b(x)=b(y) である．従って，b_λ := b(x) は x∈X_λの取り方によらずλのみから定まる．b_λ∈B⊂k^(X)なので，b_λ=Σ_{y∈X}α(λ, y)yと一意に表せる．そこで F_λ := {y∈X_λ|α(λ, y)≠0} と置く．Σ_{y∈X}α(λ, y)y は実質有限和だからF_λも有限集合である．また，x∈X_λに対し
x-Σ_{y∈X}α(λ, y)y = x-b_λ = x-b(x) = a(x)∈A = ⊕_{λ∈Λ}A_λ
であるが，x-Σ_{y∈X}α(λ, y)yのA_λ成分は明らかにx-Σ_{y∈X_λ}α(λ, y)y．A_λの定義より1-Σ_{y∈X_λ}α(λ, y)=0，故にα(λ, y)≠0となるy∈X_λは存在する．即ちF_λは空でない．よってAMCが成立する．

証明

(⇒)省略．

(←)AMCを示す．を空でない集合の族とする．各X_λは3つ以上元を持つとしても一般性を失わない．各λ∈Λに対しQ-線型空間V_λを
V_λ := { f: X_λ→Q | ある有限集合F⊂X_λがあってfはX_λ＼F上定数関数 }
と定義する．G_λ := { f∈V_λ| fは定数関数ではないが一点を除くと定数関数 }と置けばG_λはV_λを生成する．

V := ⊕_{λ∈Λ}V_λとする．自然な埋め込みi_λ: V_λ→ Vが存在する．G:=∪_{λ∈Λ}i_λ(G_λ)と置けば G は V を生成する．そこで仮定より V の基底 B⊂G が存在する．B_λ := { x∈V_λ| i_λ(x)∈G }とすれば B_λ⊂G_λがV_λの基底である．

定数関数 1∈V_λを基底 B_λの元 b_i の一次結合で表す: 1=α_1b_1+… +α_nb_n．b_i∈G_λで，X_λは3つ以上の元を持つから，b_i: X_λ→Q が X_λ＼{x_i} 上定数関数になるような x_i が唯一つ存在する．そこで F_λ := {x_1, …, x_n} とすればよい．

証明

(1 ⇒ 2) k-線型空間 V が入射的であることを示す．任意の単射線型写像 f: U→W と任意の線型写像 g: U→V を取る．

fによりU⊂Wを部分空間とみなし，定理2 を使うと W=U⊕U' と書ける．そこで h: W→V を合成 W=U⊕U'→U→Vで定めればよい．

(2 ⇒ 1)定理2 の条件(補空間の存在)を示す．V をk-線型空間とし A⊂V を部分空間とする．仮定2. よりAは単射的である．故に，次の図式を可換にする線型写像 f: V→A を得る．
B := ker fとすれば A⊕B = V．

(1 ⇒ 3) k-線型空間 V が射影的であることを示す．任意の全射線型写像
f: U→W と任意の線型写像 g: V→W を取る．

Vの基底{e_i}を取る．(選択公理を仮定しているのでこれは可能．)fが全射であることから，各e_iに対しf^{-1}(g(e_i))≠∅である．よって選択公理によりu_i∈f^{-1}(g(e_i))を取ってくることができる．h(e_i):=u_iで線型写像 h: V→U を定義すれば，これはg=fhを満たす．

(3 ⇒ 4)は自明．

(4 ⇒ 1)AMCを示す．を空でない集合の族とする．各X_λは互いに交わらないとしてよい．と置く．f: X→Λを f(x) := (x∈X_λとなるλ) で定める．f から線型写像 \bar(f): k^(X)→ k^(Λ) が自然に得られる．f が全射だから，\bar(f) も全射である．仮定4. より，k^(Λ)は射影的，よって次の図式を可換にする線型写像 g: k^(Λ)→k^(X) が存在する．

λ∈Λに対し g(λ)=Σ_{x∈X}a(x, λ)x と一意に表す．この表示を使って
F_λ := { x∈X_λ| a(x, λ)≠0 }
と置く．Σ_{x∈X}a(x, λ)x は有限和だから F_λも有限集合である．また

となるから，表現の一意性より a(x, λ)≠0 となる x∈X_λは存在する．即ちF_λ≠∅．故にAMCが成り立つ．