コンパクト性
定義
(X, O)を位相空間とする．
- XがT_0空間 ⇔ 異なる二点x, y∈Xに対しある開集合U⊂Xが存在して x∈U, y∉U または x∉U, y∈U となる
- XがT_1空間 ⇔ 異なる二点x, y∈Xに対しある開集合U⊂Xが存在して x∈U, y∉U となる
- XがT_4空間 ⇔ 互いに素な閉集合E, F⊂Xに対しある開集合U, V⊂Xが存在して E⊂U, F⊂V, U∩V=∅となる
- Xが正規(normal)空間 ⇔ XがT_0かつT_4
定義
(X, O)を位相空間とする．
- x∈XがA⊂Xの集積点(accumulation point) ⇔ xの任意の開近傍Uに対しA∩(U＼{x})≠∅
- x∈XがA⊂Xのcomplete accumulation point ⇔ xの任意の開近傍Uに対し|A|=|A∩ U|
complete accumulation pointを完備集積点と訳すことにする．
定義
(X, O)を位相空間とする．
- U⊂OがXの開被覆 ⇔ X=∪U
- Xがコンパクト ⇔ Xの任意の開被覆は有限部分被覆を持つ．
- Xがスーパーコンパクト ⇔ 開近傍がXしかない点x∈Xが存在する
- XがAlexandroff-Urysohn-コンパクト ⇔ Xの無限部分集合は完備集積点を持つ．
- XがTychonoff-コンパクト ⇔ Xが閉区間[0, 1]の直積空間の閉部分空間と同相
定理
以下の命題は(ZF上)同値．
- 選択公理
- コンパクト空間の直積はコンパクト (Tychonoffの定理)
- コンパクトT_1空間の直積はコンパクト
- 開集合が有限個な空間の直積はコンパクト
- 互いに同相なコンパクト空間の直積はコンパクト
- 互いに同相な，開集合が丁度3個ある空間の直積はコンパクト
定理
選択公理
⇔任意の位相空間の族
と
部分集合Aλ⊂Xλに対し
cl(Π_{λ∈Λ}Aλ)⊃Π_{λ∈Λ}cl(Aλ)
左辺のcl(・)はXでの閉包，右辺のcl(・)は各Xλでの閉包である．
また，逆向きの包含関係
cl(Π_{λ∈Λ}Aλ)⊂Π_{λ∈Λ}cl(Aλ)
は(選択公理によらず)常に成り立つ．
定理
以下の命題は(ZF上)同値．
- 選択公理
- コンパクト ⇒ Alexandroff-Urysohn-コンパクト
- コンパクト ⇔ Alexandroff-Urysohn-コンパクト
- Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の有限和は Alexandroff-Urysohn-コンパクト
- 開集合が有限個の位相空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
- 密着位相空間の有限和はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
定理
以下の命題は(ZF上)同値．
- 選択公理
- Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
- Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の有限直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
- 開集合が有限個な空間の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
- 有限離散位相の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
- 「{0, 1}に離散位相を入れた空間」の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
定理
以下の命題は(ZF上)同値．
- 選択公理
- Tychonoff-コンパクト空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
- [0, 1]の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
定理
選択公理⇔正規空間の和は正規
定理
選択公理⇔スーパーコンパクト空間の直積はスーパーコンパクト
スーパーコンパクトT_0空間の直積がスーパーコンパクトになることは選択公理を使わずに証明できる．
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