証明

(⇒) x=(x_λ)∈Π_λ∈Λcl(A_λ)を取る． λ∈Λに対してx_λ∈cl(A_λ)だから， x_λの任意の開近傍U⊂ X_λに対しU∩ A_λ≠∅となる． xの任意の開近傍U⊂を取る． 族{U_λ}_λ∈Λが，各U_λはX_λの開集合で Π_λ∈ΛU_λ⊂ Uとなるように取れる． このとき各λ∈ΛについてU_λ∩ A_λ≠∅． 故に選択公理によりΠ_λ∈Λ(U_λ∩ A_λ)≠∅となる． 従ってU∩ A=Π_λ∈Λ(U_λ∩ A_λ)≠∅である． よってx∈cl(Π_λ∈ΛA_λ)．

(←) {A_λ}_λ∈Λを空でない集合の族とする． ￢∞∈∪_λ∈ΛA_λとなる∞を一つ用意し， X_λ := A_λ∪{∞}と置く． X_λに密着位相を入れる．明らかに≠∅．このとき
cl(Π_λ∈ΛA_λ)⊃Π_λ∈Λcl(A_λ)=≠∅.
(Π X_λの中で考えて) cl(∅)=∅だから，Π_λ∈ΛA_λ≠∅でなければならない．

証明

(1⇒2) 定理1によりΠ_λ∈ΛA_λ =cl(Π_λ∈ΛA_λ)=Π_λ∈Λcl(A_λ) だから，A_λ=cl(A_λ)．即ちA_λ⊂ X_λは閉集合である．

(2⇒3) 明らか．

(3⇒1) 選択公理が成り立たないと仮定する．すると非空集合の族{A_λ}_λ∈Λで Π_λ∈ΛA_λ=∅となるものが存在する． ￢∞∈∪_λ∈ΛA_λなる∞を一つ用意し， X_λ := A_λ∪{∞}と定める． 各X_λには密着位相を入れる． ∅=Π_λ∈ΛA_λはの閉集合だから， 仮定3より，あるλ∈Λが存在してA_λ⊊ X_λが閉集合となる． X_λには密着位相が入っていたから，A_λ=∅でなければならず，矛盾する．

証明

命題の仮定を満たすと{A_λ}_λ∈Λを取る． Π_λ∈ΛA_λ≠∅だから，(a_λ)∈Π_λ∈ΛA_λが取れる．

あるμ∈Λが存在してA_μ⊂ X_μが閉集合でないと仮定する． p∈cl(A_μ)＼ A_μが取れる． 写像f: Λ→を
f(μ) := p
λ≠μに対し f(λ) := a_λ
と定める．明らかにf∈かつf∉Π_λ∈ΛA_λである． Π_λ∈ΛA_λ⊂は閉集合だから， fの開近傍U⊂で U∩Π_λ∈ΛA_λ=∅となるものが存在する． 族{U_λ}_λ∈Λを，各U_λはX_λの開集合で， Π_λ∈ΛU_λ⊂ Uとなるように取る．このとき
∅=U∩Π_λ∈ΛA_λ ⊃Π_λ∈ΛU_λ∩Π_λ∈ΛA_λ ⊃Π_λ∈Λ(U_λ∩ A_λ)
である．p∈U_μかつp∈ cl(A_μ)だから， U_μ∩A_μ≠∅である．そこでq∈ U_μ∩ A_μを一つ取り， 写像g: Λ→を
g(μ) := q
λ≠μに対し g(λ) := a_λ
で定めれば，g∈Π_λ∈Λ(U_λ∩ A_λ)=∅となり矛盾する．