選択公理

選択公理と同値な命題とその証明

• 集合に関する命題　PDF版
  選択公理の定義、他
• 整列可能定理とZornの補題　PDF版
  選択公理⇔整列可能定理⇔Zornの補題
• 整列可能定理について　PDF版
  整列可能定理⇔全順序は整列可能⇔順序数の冪集合は整列可能、他
• Zornの補題・極大原理　PDF版
  Zornの補題⇔Tukeyの補題、他
• 線型空間の基底の存在　PDF版
  選択公理⇔任意の線型空間に基底が存在する，他
• 集合に群構造が入る　PDF版
  選択公理⇔任意の非空集合Xに群構造を入れることができる
• 環の極大イデアルの存在　PDF版
  選択公理⇔環は極大イデアルを持つ⇔一意分解整域は極大イデアルを持つ
• the Axiom of Multiple Choice　PDF版
  選択公理⇔the Axiom of Multiple Choice、他
• 基数の性質　PDF版
  選択公理⇔濃度の比較可能性、他
• Bernsteinの定理　PDF版
  双対Bernsteinの定理に条件を加えると選択公理と同値になる、という話
• コンパクト性　PDF版
  選択公理⇔Tychonoffの定理、他
• ∪∩の分配法則　PDF版
  選択公理⇔任意個の集合についての∪∩の分配法則
• 閉集合と直積　PDF版
  選択公理⇔「直積の閉包」=「閉包の直積」、他
• Hahn-Banachの定理　PDF版
  Hahn-Banachの定理に条件を加えると選択公理と同値になる、という話
• Nielsen-Schreierの定理　PDF版
  Nielsen-Schreierの定理に条件を加えると選択公理と同値になる、という話
• 束　PDF版
  選択公理⇔完備束は極大フィルターを持つ、他
• 極大なT_0(またはT_1)部分空間の存在　PDF版
  選択公理⇔任意の位相空間は極大なT_0部分空間を持つ、他
• 環のSubdirect Decomposition　PDF版
  選択公理⇔任意の環は部分直既約な環の部分直積である、他
• 位相空間のコホモロジー　PDF版
  選択公理⇔任意の集合Xと任意の群Gに対して Giraudのコホモロジー H^1(X, G)=1、他
• 剰余群の完全代表系の存在　PDF版
  選択公理⇔アーベル群の剰余群の完全代表系の存在
• 入射的・射影的　PDF版
  選択公理⇔可除アーベル群は入射的⇔自由アーベル群は射影的、他

選択公理botで現在使っているリストでよければ一覧もあります。

選択公理に関する話題

こちらは選択公理と同値じゃない命題になります。

• 制限された選択公理　PDF版
  n元集合からなる族についての選択公理など
• Lebesgue非可測集合の存在　PDF版
• Dedekind有限集合　PDF版
• 代数閉包の存在と一意性　PDF版

参考文献

• 田中 尚夫『選択公理と数学』
• 難波 完爾『集合論』
• Kenneth Kunen『集合論―独立性証明への案内』
• Horst Herrlich『Axiom of Choice』
• Herman Rubin, Jean E. Rubin『Equivalents of the Axiom of Choice II』
• Paul Howard, Jean E. Rubin『Consequences of the Axiom of Choice』
• Thomas J. Jech『The Axiom of Choice』
• Azriel Levy『Basic Set Theory』
• Axiom of choice - Wikipedia