http://alg-d.com/ 主にゲームとかを扱っている趣味のサイトです。 ja Tue, 21 Feb 2012 22:30:53 +0900 Tue, 21 Feb 2012 22:30:53 +0900 http://blogs.law.harvard.edu/tech/rss Movable Type Pro 5.01 http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html 定義Cを圏とする． 対象 I∈C が入射的(injective) ⇔関手 HomC(-, I) が単射を全射に送る 対象 P∈C が射影的(projective) ⇔関手 HomC(P, -) が全射を全射に送る(全射を保つ) C が十分に多くの入射的対象を持つ(enough injective) ⇔任意の対象 X∈C に対し，ある入射的対象 I∈C と単射 f: X→I が存在する． これを ... Tue, 21 Feb 2012 22:30:53 +0900 http://alg-d.com/math/ac/basis.html 定理1 選択公理⇔任意の線型空間に基底が存在する． 証明(⇒) Vを任意な線型空間とする．A := { X⊂V | Xは一次独立 }とする．一次独立の定義から，A は明らかに有限性を持つ． Aが有限性を持つとは「X∈A⇔任意の有限部分集合Y⊂ Xに対しY∈A」が成立すること． よってTukeyの補題により A は極大元Bを持つ． Tukeyの補題とは「有限性を持つ集合は(⊂についての)極大元を持... Mon, 20 Feb 2012 19:26:11 +0900 http://alg-d.com/math/ac/quotient_gp.html 定理 集合族が 「任意のλ∈Λに対し |Xλ|≧2 」を満たすとき， ある集合族{Fλ}λ∈Λが存在して 「任意のλ∈Λに対して Fλ⊂Xλかつ|Fλ|は奇数」である．(これをOACと呼ぶ) ⇔ G をアーベル群，H を部分群とする． もし G/H の任意の元の位数が2以下ならば，G/H の完全代表系が存在する． 証明(⇒) G をアーベル群，H を部分群として G/H の任意の元の位数が2以下... Fri, 17 Feb 2012 10:15:31 +0900 http://alg-d.com/math/ac/amc.html Fri, 17 Feb 2012 09:39:22 +0900 http://alg-d.com/math/ac/cohomology.html 定義 Xを集合，Gを群とする．次の条件を満たす(T, p)をX上のG-torsorという． p: T→X は全射である．p を射影という． G は T に右から作用する．g∈G の t∈T への作用を tg で表す． 任意の t∈T と g∈G に対し p(tg) = p(t)． p(t) = p(s) を満たす t, s∈T に対し，ある g∈G が一意に存在して s = tg となる． 例 ... Mon, 06 Feb 2012 22:30:18 +0900 http://alg-d.com/math/ac/subdirect.html ここでは環に乗法単位元1の存在を仮定しない．1を含む環を単位的環と呼ぶ． 定義 {Sλ}λ∈Λを環の族として． R⊂Πλ∈Λ Sλを部分環とする． 任意のλ∈Λに対して標準射影πλ: R→Sλが 全射であるとき，Rを {Sλ} のsubdirect productという． あるλ∈Λについてπλが同型となるとき，自明なsubdirect productという． 以下，subdirect produ... Sat, 04 Feb 2012 16:23:32 +0900 http://alg-d.com/math/ac/subsp.html 定義集合Aが 「Y∈A ⇔ Yの任意の有限部分集合Zに対しZ∈A」 を満たすとき，Aは有限性を持つという． このとき命題 有限性をもつ非空集合Aは(⊂に関する)極大元をもつ． をTukeyの補題という． 定理選択公理⇔Tukeyの補題 証明Zornの補題・極大原理を参照． 定理次の命題は(ZF上)同値． 選択公理 任意の位相空間は極大なT0部分空間を持つ． 任意の位相空間は極大なT1部分空間を持... Wed, 01 Feb 2012 14:46:05 +0900 http://alg-d.com/math/ac/lattice.html 定義 (L, ≦)を順序集合とする．任意の元x, y∈Lに対し，集合 {x, y}⊂L が 上限(=最小上界)と下限(=最大下界)を持つとき，(L, ≦)を束(lattice)という． x∨y := sup{x, y}, x∧y := inf{x, y} と書く． 最大元1と最小元0を持つ束を有界束(bounded lattice)という． 分配律 x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) を... Wed, 01 Feb 2012 01:41:15 +0900 http://alg-d.com/math/ac/alg_cl.html 命題選択公理を仮定する．任意の体kに対し代数閉包kalg/kが一意に存在する． 証明まず存在を示す． A := { f∈k[x] | fは既約多項式，最高次係数は1 } と置く． 各 f∈A に対し nf := deg(f) 個の不定元 x1(f), …, xnf(f) を用意し， X := { xi(f) | f∈A, 1≦i≦nf } とする． gf(x) := (x-x1(f))…(x-x... Tue, 17 Jan 2012 06:51:42 +0900 http://alg-d.com/math/ac/d_finite.html 定義集合 X が |Y| = |X| となる真部分集合 Y ⊊ X を持つとき，XをDedekind無限集合という．Dedekind無限集合でないような集合をDedekind有限集合という． 明らかに有限集合はDedekind有限集合である(即ち，Dedekind無限集合は無限集合である)． 逆に無限集合がDedekind無限集合であることはZFでは証明できないことが知られている． ... Tue, 17 Jan 2012 05:06:54 +0900 http://alg-d.com/math/ac/nielsen_schreier.html Nielsen-Schreierの定理 自由群の部分群は自由群である． Nielsen-Schreierの定理はZFで証明できない．(Nielsen-Schreierの定理から「有限集合の族についての選択公理」が導かれることが知られている．また，Nielsen-Schreierの定理が選択公理を導くかどうかは未解決問題のようだ．) 一方，Nielsen-Schreierの定理に条件を付け加えると... Wed, 11 Jan 2012 23:47:30 +0900 http://alg-d.com/math/ac/choice.html 選択公理とは，非空集合の族は 選択関数f: Λ→を持つという命題だった．このとき，Λや各Xλに制限を加えたものを考えることもできる． 定義κ, μを基数とする． 次の二条件を満たす族は 選択関数を持つ，という命題をAC(κ)μで表すことにする． 任意のλ∈Λに対し|Xλ|=κ |Λ|=μ 添え字集合への制限を添え字に書くことにした． また，次の二条件を満たす族は 選択関数を持つ，という命題をAC... Sun, 01 Jan 2012 10:53:56 +0900 http://alg-d.com/math/ac/hahn_banach.html ZFでは証明できない解析学の定理としてHahn-Banachの定理が有名である． Hahn-Banachの定理はある種の写像の延長の存在を保証する定理だが， 実はHahn-Banachの定理に「延長に関する条件」を付け加えると，選択公理と同値になることが知られている． 定義Xを実線型空間とする． S⊂Xが凸集合 ⇔ 任意の二点u, v∈Sに対し { tu+(1-t)v | t∈[0, 1] }⊂... Sun, 04 Dec 2011 07:03:30 +0900 http://alg-d.com/math/ac/close.html 定理1 選択公理 ⇔を位相空間の族とし，集合族{Aλ}λ∈Λは任意のλ∈ΛについてAλ⊂ Xλを満たすとする．このとき cl(Πλ∈ΛAλ)⊃Πλ∈Λcl(Aλ) 左辺の cl はでの閉包，右辺の cl は各Xλでの閉包である． また，逆向きの包含関係 cl(Πλ∈ΛAλ)⊂Πλ∈Λcl(Aλ) は(選択公理によらず)常に成り立つ． 証明 (⇒) x=(xλ)∈Πλ∈Λcl(Aλ)を取る． λ∈... Tue, 22 Nov 2011 23:28:25 +0900 http://alg-d.com/math/ac/krull.html 定義次の性質を満たす(R, +, ・, 0)を環という． (R, +, 0)はアーベル群である． (R, ・)は半群である． 分配律 (x+y)z=xz+yz, x(y+z)=xy+xz が成り立つ． 0以外の元を少なくとも一つ持つ． ここでは乗法単位元1の存在を仮定しない． 定義Rを環とする． 「任意のx∈Rに対しx1=x」となる元1∈Rを右単位元という． 右単位元を持つ環を右単位的環... Sun, 20 Nov 2011 20:41:20 +0900 http://alg-d.com/math/ac/distributivity.html 定理 は非空集合の族を表すとし，X :=と置く． 次の命題は同値． 選択公理 任意のと， 定義域が∪_{λ∈Λ}({λ}×Xλ)である写像Aに対し = 任意のに対し 証明 (1⇒2) まず⊃は選択公理によらずZFで成立している． 任意のu∈を取る． 即ち，ある元 (yλ)λ∈Λ ∈X が存在して u∈∩λ∈Λ A(λ, yλ) となる． よって各λ∈Λに対して u∈A(λ, yλ)⊂ だからu∈... Thu, 17 Nov 2011 18:34:57 +0900 http://alg-d.com/math/ac/compact.html 定義 (X, O)を位相空間とする． XがT_0空間 ⇔ 異なる二点x, y∈Xに対しある開集合U⊂Xが存在して x∈U, y∉U または x∉U, y∈U となる XがT_1空間 ⇔ 異なる二点x, y∈Xに対しある開集合U⊂Xが存在して x∈U, y∉U となる XがT_4空間 ⇔ 互いに素な閉集合E, F⊂Xに対しある開集合U, V⊂Xが存在して E⊂U... Tue, 15 Nov 2011 21:49:49 +0900 http://alg-d.com/nb.html このサイトについて このサイトはQQQ～が一人でやっている趣味のサイトです。主にゲームとかを扱っています。内容には一切責任は持てません。 何か伝えたい事とかがあれば適切なページのコメントからお願いします(よく分からなければ最新の日記のコメントを使ってください)。twitterというのもアリ。返事は必ずする訳ではありませんが、感想、意見、批判、質問、提案、要望、一発ギャグなど、何でも気楽にどうぞ。誤... Mon, 14 Nov 2011 20:13:37 +0900 http://alg-d.com/math/ac/gp.html 定理 選択公理⇔任意の非空集合Xに群構造を入れることができる 証明 (⇒)Xが有限集合の時は自明( Z/nZ を考えればよい)だから，Xは無限集合とする．F(X) := { x⊂X | xは有限集合 } と書くことにする． 選択公理より，|X| = |F(X)|，即ち全単射X→F(X)が存在する． 実は「任意の無限集合Xに対し |X| = |F(X)| 」は選択公理と同値である． 証明は基数の性... Mon, 14 Nov 2011 17:28:03 +0900 http://alg-d.com/math/ac/wot.html Mon, 14 Nov 2011 09:54:21 +0900